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仰望华夏星空，探究天人之际，我是双鱼戏水。上一期内容讲解了球面三角中，边的余弦公式。考虑到球面三角中，角的余弦公式的推导需要“极线三角形”的知识，所以这一期，先和大家介绍一下“极线三角形”。垂直于球面上的大圆或小圆平面的球直径，称为该圆的轴。每个球面上的圆都有且只有一根轴。但垂直于同一轴的圆面可以有无数个，这些圆面互相平行，其中只有一个通过球心的是大圆面，其它的均系小圆面。轴的两端点称为极。球面上的每个圆均有且只有两个极。但极所对应的圆可以有无数个，其中只有一个是大圆，其它的均系小圆。

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如图所示,球直径PP′垂直于大圆AB和小圆CD的平面，所以球直径PP′是这两个圆的轴。轴的两端点P、P′是它们的极。过两极可作无数个大圆，如○PCAP'和○PDBP'等，这些大圆均与该极的大圆或小圆相垂直，如○CD和○AB等。从极到圆(大圆或小圆)弧上任一点间的大圆距离称为极距，又叫球面半径。一个圆的极距或球面半径均相等，如⌒PC=⌒PD。如图所示，C和D为圆周上任意两点，连接PC、PD，则平面三角形PCO₁与PDO₁全等，则有弦PC=PD。由于等圆内，相等的弦所对的弧相等，所以有⌒PC=⌒PD。大圆上任一点到其极点的大圆距离均为90°，如⌒PCA=⌒PDB=90°，亦即大圆的极距或球面半经为 90°。如图所示，对于大圆AB，有∠P'OA=∠POA=∠P'OB=∠POB=90°，因圆的中心角与其所对的弧同度，则有⌒PCA=⌒P'A=⌒PDB=⌒P'B=90。因为极所对应的大圆只有一个，而且极距等于90°，所以把大圆弧称为它所对应的极的极线。极的极线必然是大圆弧。例如P点是大圆AB的极，而大圆AB则为极点P的极线。如果从另一个角度讲，如下的关系也成立，即球面上一点到某一大圆弧上任意两点间的大圆距离都为 90°，则这一点就是该大圆的极，而这个大圆则是该点的极线。

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由球面三角形ABC三个顶点的极线所构成的球面三角形A'B'C'，称为球面三角形ABC的极线球面三角形，而球面三角形 ABC则称为原三角形，如图所示。为使所得的极线球面三角形也符合欧拉球面三角形的要求，极线应作在该点对边的同侧。例如，作原三角形顶点A的极线，应画在其对边BC(即a边)的同一侧，得大圆B'C'(即 a'边)。其余的两条极线也应按同一原则画出。性质一：若一球面三角形是另一球面三角形的极线三角形，则后一球面三角形也是前一球面三角形的极线三角形，即互为极线三角形。

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如图所示，球面三角形A'B'C'是原球面三角形ABC的极线三角形。∵ B'是b的极，∴ ⌒B'A=90°；∵ C'为c的极，∴ ⌒C'A=90°。∴ A是大圆弧B'C'(即 a'边)的极。同理可证，B是⌒C'A'(即b'边)的极。∴ 球面三角形 ABC 与球面三角形A'B'C'互为极线三角形。性质二：原球面三角形的边与其极线三角形的对应角互补，原球面三角形的角与其极线三角形的对应边互补。如图所示，延长AB、AC交BC于D、E，得⌒DE。∵ 球面角∠A=⌒DE∴ a'+球面∠A=a'+⌒DE=⌒B'D+⌒DE +⌒EC'+⌒DE∵ ⌒AC是顶点B'的极线∴ ⌒B'D+⌒DE=90°∵ ⌒AB是顶点C'的极线∴ ⌒EC'+⌒DE=90°∴ a'+球面∠A=180°同理可证：b'+球面∠B=180°c'+球面∠C=180°a+球面∠A'=180°b+球面∠B'=180°c+球面∠C'=180°（双鱼戏水 文）

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